题目内容
【题目】椭圆与
的中心在原点,焦点分别在
轴与
轴上,它们有相同的离心率
,并且
的短轴为
的长轴,
与
的四个焦点构成的四边形面积是
.
(1)求椭圆与
的方程;
(2)设是椭圆
上非顶点的动点,
与椭圆
长轴两个顶点
,
的连线
,
分别与椭圆
交于
,
点.
(i)求证:直线,
斜率之积为常数;
(ii)直线与直线
的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由.
【答案】(1),
.(2)(i) 见解析(ii)
.
【解析】
试题(1)椭圆离心率,又
,所以
,设
,则根据题中条件可设
,于是根据椭圆的对称性可知,四个焦点构成的四边形为菱形,面积
,解得
,可以得到椭圆
,
;(2)(i)本问考查圆锥曲线中的定点、定值问题,分析题意,设
,而
,
,所以
,
,于是
,又因为
,代入上式易求
;(ii)根据(i)问,可先证明
为定值,再证明
为定值,于是可以得到
为定值,由于
,
,所以可以得
为定值.
试题解析:(1)依题意,设
,
,由对称性,四个焦点构成的四边形为菱形,且面积
,解得:
.
所以椭圆,
.
(2)(i)设,则
,
,
.
,
.
所以:.
直线,
斜率之积为常数
.
(ii)设,则
.
,
,
所以:,同理:
,
所以:,由
,
,结合(i)有
.
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