Question

（本小题满分16分）
已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1），所以在处的切线为
即：                         ………………………………2分
与联立，消去得，
由知，或.       ………………………………4分
（2）
①当时，在上单调递增，且当时，，
，故不恒成立，所以不合题意 ；………………6分
②当时，对恒成立，所以符合题意；
③当时令，得， 当时，，
当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，
综上：.                ………………………………10分
(3)当时，由（2）知，
设，则，
假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………………13分
令得：，因为， 所以.
令，则 ，
当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，
所以存在符合条件的，且仅有一个. …………………………16分

解析