题目内容
【题目】已知函数.
(1)设.
①求方程=2的根;
②若对任意,不等式
恒成立,求实数m的最大值;
(2)若,函数
有且只有1个零点,求ab的值.
【答案】(1)①0 ②4 (2)1
【解析】
(1)①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程,求方程根;②根据指数间平方关系,将不等式转化为一元不等式,再利用变量分离转化为对应函数最值,最后根据基本不等式求最值;(2)根据导函数零点情况,确定函数单调变化趋势,结合图象确定唯一零点必在极值点取得,从而建立等量关系,求出ab的值.
(1)因为,所以
.
①方程,即
,亦即
,
所以,于是
,解得
.
②由条件知.
因为对于
恒成立,且
,
所以对于
恒成立.
而,且
,
所以,故实数
的最大值为4.
(2)因为函数只有1个零点,而
,
所以0是函数的唯一零点.
因为,又由
知
,
所以有唯一解
.
令,则
,
从而对任意,
,所以
是
上的单调增函数,
于是当,
;当
时,
.
因而函数在
上是单调减函数,在
上是单调增函数.
下证.
若,则
,于是
,
又,且函数
在以
和
为端点的闭区间上的图象不间断,所以在
和
之间存在
的零点,记为
. 因为
,所以
,又
,所以
与“0是函数
的唯一零点”矛盾.
若,同理可得,在
和
之间存在
的非0的零点,矛盾.
因此,.
于是,故
,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 |
合计 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 |
(Ⅰ)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,能否在犯错误概率不超过0.005的前提下,认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关?
(Ⅱ)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,视频率为概率,在我市所有“移动支付达人”中,随机抽取4名用户.
①求抽取的4名用户中,既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率;
②为了鼓励男性用户使用移动支付,对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元,记奖励总金额为,求
的分布列及数学期望.
附公式及表如下:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |