题目内容
已知数列{an}是首项为a1,各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,且有5S2=4S4.
(1)求数列{an}的公比q;
(2)设bn=q+Sn,试问{bn}是否为等比数列?若是求出a1的值;若不是说明理由.
(1)求数列{an}的公比q;
(2)设bn=q+Sn,试问{bn}是否为等比数列?若是求出a1的值;若不是说明理由.
(1)若q=1,5S2=10a1,4S4=16a1,不满足5S2=4S4,故q≠1…(2分)
由5S2=4S4得5
=4
,1+q2=
,q2=
,
∵an>0,∴q=
…(5分)
(2)假设满足条件的等比数列{bn}存在.
由(1)得Sn=
=2a1[1-(
)n],∴bn=
+2a1[1-(
)n],…(8分)
∵{bn}是等比数列,∴b1,b2,b3成等比数列,∴
=b1b3
即(
a1+
)2=(a1+
)(
a1+
),整理得4
+a1=0,得a1=0或a1=-
…(11分)
这与数列{an}各项均为正数矛盾,故数列{bn}不存在.…(12分)
由5S2=4S4得5
a1(1-q2) |
1-q |
a1(1-q4) |
1-q |
5 |
4 |
1 |
4 |
∵an>0,∴q=
1 |
2 |
(2)假设满足条件的等比数列{bn}存在.
由(1)得Sn=
a1[1-(
| ||
1-
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵{bn}是等比数列,∴b1,b2,b3成等比数列,∴
b | 22 |
即(
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
7 |
4 |
1 |
2 |
a | 21 |
1 |
4 |
这与数列{an}各项均为正数矛盾,故数列{bn}不存在.…(12分)
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