题目内容
已知数列{an}、{bn}中,对任何正整数n都有:.a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3
(1)若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若数列{bn}是等比数列,数列{an}是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由.
(1)若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若数列{bn}是等比数列,数列{an}是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由.
(1)证明:∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3
∴a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1=3n-2(n-1)-3
∴a1bn+(a2-a1)bn-1+(a3-a2)bn-2+…+(an-1-an-2)b2+(an-an-1)b1=2•3n-2
∵数列{an}是首项和公差都是1的等差数列,
∴bn+bn-1+bn-2+…+b2+b1=2•3n-2
∴n≥3时bn=4×3n-1
又b1=4,b2=12也符合上式
∴bn=4×3n-1
∴
=3,
∴数列{bn}是等比数列
(2)设数列{bn}的公比为q.
∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3①
∴(a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1)q=(3n-2(n-1)-3)q②
②-①得:anb1=3n+1-2n-3-q3n+2q(n-1)+3q(n≥2)
q=3时,an=
;
又a1=
也符合上式,∴q=3时,an=
,∴数列{an}是等差数列;
q≠3时,数列{an}不是等差数列.
∴a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1=3n-2(n-1)-3
∴a1bn+(a2-a1)bn-1+(a3-a2)bn-2+…+(an-1-an-2)b2+(an-an-1)b1=2•3n-2
∵数列{an}是首项和公差都是1的等差数列,
∴bn+bn-1+bn-2+…+b2+b1=2•3n-2
∴n≥3时bn=4×3n-1
又b1=4,b2=12也符合上式
∴bn=4×3n-1
∴
bn |
bn-1 |
∴数列{bn}是等比数列
(2)设数列{bn}的公比为q.
∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3①
∴(a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1)q=(3n-2(n-1)-3)q②
②-①得:anb1=3n+1-2n-3-q3n+2q(n-1)+3q(n≥2)
q=3时,an=
4n |
b1 |
又a1=
4 |
b1 |
4n |
b1 |
q≠3时,数列{an}不是等差数列.
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