题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设函数,若
,使得
成立,求实数a的取值范围;
(3)若方程有两个不相等的实数根
,求证:
.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)(3)证明见解析
【解析】
(1)对函数进行求导,根据的取值不同进行分类讨论函数的单调区间;
(2)根据(1)中的单调性求出在
上的最小值,再对
进行求导,根据单调性求出
在
上的最大值,计算
的值,然后分类讨论,结合已知以及绝对值的意义进行求解即可;
(3)要证,由(1)知由
得
;
只要证明即可,根据方程根的性质,求出
的表达式,构造新函数,利用新函数的单调性进行求解即可.
(1)(
)
当时,
,函数
在
上单调递增;
当时,由
得
;
由得
,函数
在
上递增,在
上递减
(2)当时,
,
令得
(舍去),
当时,
,
①当时,则
显然成立,即
②当时,则
,即
,
综上.
(3)要证,由(1)知由
得
;
只要证明即可
∵是方程
的两个不等实根,不妨设
∴,
∴,
即,∴
即证
即证,
设
令,
则在
上单调递增,
恒成立,得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“微信运动”已成为当下热门的健身方式,小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
0~2000 | 2001~5000 | 5001~8000 | 8001~10000 | ||
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率;
(2)已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的列联表,并据此判断是否有
以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】为了研究一种昆虫的产卵数和温度
是否有关,现收集了7组观测数据列于下表中,并作出了如图的散点图.
温度 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
产卵数 | 6 | 10 | 22 | 26 | 64 | 118 | 310 |
26 | 79.4 | 3.58 | 112 | 11.6 | 2340 | 35.72 |
其中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作为该昆虫的产卵数
与温度
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由).
(2)根据表中数据,建立关于
的回归方程;(保留两位有效数字)
(3)根据关于
的回归方程,估计温度为33℃时的产卵数.
(参考数据:)
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.