题目内容

18.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O1(9,0).过定点P(6,0)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1,若d与d1的比值总等于同一常数λ,求λ的值和圆O1的方程.

分析 (1)圆O1的半径为4,圆心为O1(9,0),从而可得圆O1的标准方程;
(2)当直线l的斜率存在时,设方程为y-b=k(x-a),求出O,O1到直线l的距离,从而可得d与d1的值,利用d与d1的比值总等于同一常数λ,建立方程,从而利用等式对任意实数k恒成立,得到三个方程,由此可得结论.

解答 解:∵圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21,
∴圆O1的半径为4,
∵圆心为O1(9,0),
∴圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16;
当直线l的斜率存在时,设方程为y-b=k(x-a),即kx-y-ka+b=0
∴O,O1到直线l的距离分别为h=$\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,h1=$\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴d=2$\sqrt{64-(\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}})^{2}}$,d1=2$\sqrt{16-(\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}})^{2}}$
∵d与d1的比值总等于同一常数λ,
∴[64-a2-16λ22(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)]k+64-b22(16-b2)=0
由题意,上式对任意实数k恒成立,所以64-a2-16λ22(a-9)2=0,2b[a-λ2(a-9)]=0,64-b22(16-b2)=0同时成立,
①如果b=0,则64-16λ2=0,∴λ=2(舍去负值),从而a=6或18;
∴λ=2,P(6,0),P(18,0)
②如果a-λ2(a-9)=0,显然a=9不满足,从而λ2=$\frac{a}{a-9}$,3a2-43a+192=0,△=432-4×3×192=-455<0,故方程无解,舍去;
当点P的坐标为(6,0)时,直线l的斜率不存在,此时d=4$\sqrt{7}$,d1=2$\sqrt{7}$,∴$\frac{d}{{d}_{1}}$=2也满足.
综上,满足题意的λ=2,点P有两个,坐标分别为(6,0),(18,0),
斜率不存在时 P(18,0),直线与圆外离,舍去.

点评 本题考查圆的标准方程,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力.

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