Question

7．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₈=4，a₁₃=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n 的最小值及相应的n的值；
（3）在公比为q的等比数列{b_n}中，b₂=a₈，b₁+b₂+b₃=a₁₃，求q+q⁴+q⁷+…+q³ⁿ⁺⁴．

Answer 1

分析 （1）建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出S_n 的表达式，结合一元二次函数的性质即可求最小值及相应的n的值；
（3）根据等比数列的通项公式求出公比，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵a₈=4，a₁₃=14．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+7d=4}\\{{a}_{1}+12d=14}\end{array}\right.$，解得a₁=-10，d=2，
则数列{a_n}的通项公式a_n=-10+2（n-1）=2n-12．
（2）S_n =$\frac{n（-10+2n-12）}{2}$=n（n-12）=n²-12n=（n-6）²-36，
∴当n=6时，S_n 取得最小值，
最小值为-36，此时相应的n=6；
（3）∵b₂=a₈=4，b₁+b₂+b₃=a₁₃=14，
∴b₁+b₃=14-4=10，
设公比为q，
则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}q=4}\\{{b}_{1}+{b}_{1}{q}^{2}=10}\end{array}\right.$，
则$\frac{1+{q}^{2}}{q}$=$\frac{5}{2}$，
即2q²-5q+2=0，
解得q=2或q=$\frac{1}{2}$．
若q=2，则q+q⁴+q⁷+…+q³ⁿ⁺⁴=$\frac{q[1-（{q}^{3}）^{n+2}]}{1-{q}^{3}}$=$\frac{2（1-{8}^{n+2}）}{1-8}$=$\frac{2}{7}$（8ⁿ⁺²-1），
若q=$\frac{1}{2}$，则q+q⁴+q⁷+…+q³ⁿ⁺⁴=$\frac{q[1-（{q}^{3}）^{n+2}]}{1-{q}^{3}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{8}）^{n+2}]}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4}{7}$[1-（$\frac{1}{8}$）ⁿ⁺²]．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列通项公式的求解，以及数列求和的计算，利用方程组思想求出首项和公比，公差是解决本题的关键．