题目内容
【题目】已知双曲线的左右顶点分别为
.直线
和两条渐近线交于点
,点
在第一象限且
,
是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)是否存在点P使得为直角三角形?若存在,求出点P的个数;
(3)直线与直线
分别交于点
,证明:以
为直径的圆必过定点.
【答案】(1) ;(2)4个;(3)证明过程见解析.
【解析】
(1)根据,可知
,根据题意求出点
的坐标,根据
,求出
,这样可求出双曲线的标准方程;
(2)分类讨论以三点为直角顶点时能否构成直角三角形,最后确定点P的个数;
(3)设出点P的坐标,根据三点共线,结合斜率公式可以求出点的坐标,进而可求出以
为直径的圆,最后根据圆的标准方程,可以判断出该圆所过的定点.
(1)因为,所以
,双曲线的渐近线方程为:
,由题意可知:
而
,所以
,因此双曲线的标准方程为:
;
(2)因为直线的斜率为
,所以与直线
垂直的直线的斜率为
,设
点的坐标为:
,则有
.
当时,所以
且
,解得
或
此时存在2个
点;
当时,所以
且
,
,解得
或
,此时存在2个
点;
当时,此时
点是以线段
为直径圆上,圆的方程为:
,与双曲线方程联立,无实数解,
综上所述:点P的个数为4个;
(3)设点的坐标为
,
.
因为三点共线,所以直线
的斜率相等,即
因为三点共线,所以直线
的斜率相等,即
, 所以
的中点坐标为:
,所以以
为直径的圆的方程为:
,即
令或
,因此该圆恒过
两点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式.某大型超市为调查顾客自由购的使用情况,随机抽取了100人,调查结果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率;
(Ⅱ)从被抽取的年龄在使用的自由购顾客中,随机抽取2人进一步了解情况,求这2人年龄都在
的概率;
(Ⅲ)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋?