Question

【题目】已知数列的前n项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记.若对任意正整数n，恒成立，求k的取值范围；

（3）已知集合.若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为，问是否存在实数a，使得对于任意的均有.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由题意结合数列与的关系可得，进而可得是以为首项，公比的等比数列，由等比数列的通项公式即可得解；

（2）由题意结合无穷等比数列的各项和公式可得，转化条件为恒成立，按照n是偶数、n是奇数分类，根据单调性与极限求得的最小值即可得解；

（3）由题意，按照、分类；当时，由不成立可排除；当时，由单调性结合极限可得，进而可得，即可得解.

（1）由题意知，当时，两式相减变形得：.

又时，即，于是，

故数列是以为首项，公比的等比数列，

；

（2）由题意，，

所以恒成立，

当n是偶数时，是n的增函数，于是，故，

当n是奇数时，是n的减函数，因为，故，

综上所述，k的取值范围是；

（3）由题意，

①当时，，

，若，则，

得，此不等式组的解集为空集，

即当时，不存在满足条件的实数a；

②当时，，

而是关于n的增函数，，

且，故，

因此对任意的，要使，只需，解得；

综上，a的取值范围为.