题目内容
【题目】已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成
的二面角，则其内切球（与四个面都相切）的表面积为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的表面积．
如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∴
为侧面与底面所成的二面角的平面角，
∴=
∵PD=6，∴DE=2
,PE=4 , AB=12,
∴S△ABC=
×（12）2=36，S△PAB=S△PBC=S△PCA=
=24．
∴S表=108.
设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
∵PD=6，∴VP﹣ABC=
366=72．
则由等体积可得r=
=2，
∴S球=4π22=16π．
故选B.
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