Question

（选修4-4：极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将原极坐标方程ρcos²θ=4sinθ两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线l的参数方程

x=tcosα y=1+tsinα

化为直角坐标方程，再代入曲线C的标准方程：y²=4x得：x²-6x+1=0，利用直线l经过点（1，0），即可得到直线l被曲线C截得的线段AB的长．

解答：解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ得，ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲线C的直角坐标方程为y²=4x．              
（Ⅱ）由直线l经过点（1，0）和（0，1），所以其方程为x+y=1．
故直线l的直角坐标方程是x+y-1=0，
联立

x+y-1=0 y2=4x

，消去y，得x²-6x+1=0，
则x_A+x_B=6
又点（1，0）是抛物线的焦点，
由抛物线定义，得弦长|AB|=x_A+x_B+2=6+2=8．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．