Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=1+

2

，圆C的圆心是C(

2

，

π

4

)，半径为

2

．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的极坐标方程．
（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的半径，求出弦长．

解答：解：（1）将圆心C(

2

，

π

4

)，化成直角坐标为（ 1，1），半径r=

2

，（2分）
故圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=2．即x²+y²=2x+2y（4分）
再将C化成极坐标方程，得ρ²=2ρsinθ+2ρ sinθ．（6分）
化简，得ρ²=2

2

ρsin（θ+

π

4

）．此即为所求的圆C的极坐标方程．（10分）
（2）∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=1+

2

，可化为x+y=2+

2

，…（14分）
∴圆C的圆心C（1，1）到直线l的距离为d=

|1+1-2- 2 |

2

=1，…（15分）
又∵圆C的半径为r=

2

，
∴直线l被曲线C截得的弦长l=2

r2-d2

=2 …（16分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，即利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即可．