题目内容
【题目】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1F2 , 这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,记椭圆与双曲线的离心率分别为e1 , e2 , 则e1e2的取值范围是( )
A.( ,+∞)
B.( ,+∞)
C.( ,+∞)
D.(0,+∞)
【答案】A
【解析】解:设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n), 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,
即有m=10,n=2c,
由椭圆的定义可得m+n=2a1 ,
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2 ,
即有a1=5+c,a2=5﹣c,(c<5),
再由三角形的两边之和大于第三边,可得2c+2c>10,
可得c> ,即有 <c<5.
由离心率公式可得e1e2= = = ,
由于1< <4,则有 > .
则e1e2的取值范围为( ,+∞).
故选:A.
设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n),由条件可得m=10,n=2c,再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c,a2=5﹣c,(c<5),运用三角形的三边关系求得c的范围,再由离心率公式,计算即可得到所求范围.
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