Question

【题目】已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M 在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），

则椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），即c=1，

点M 在椭圆E上，

由椭圆的定义可得2a= +

= + =4，

即a=2，b= = ，

则椭圆方程为 + =1；

（2）解：由P在x轴上，直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，

可得kPA+kPB=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 + =0，

即有x1y2+4y2+x2y1+4y1=0，

由y1=kx1+1，y2=kx2+1，

可得2kx1x2+（x1+x2）（4k+1）+8=0，①

由直线y=kx+1代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，

判别式△=64k2+32（3+4k2）＞0显然成立，

x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

代入①，可得2k（﹣ ）+（﹣ ）（4k+1）+8=0，

解得k=1．

【解析】（1）求出抛物线的焦点，可得椭圆的焦点，即c=1，再由椭圆的定义，结合两点的距离公式，可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得kPA+kPB=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用两点的斜率公式和点在直线上，将直线y=kx+1代入椭圆方程，运用韦达定理，代入可得k的方程，化简整理，解方程可得k的值．