题目内容
15.数列{an}满足a1=2,an+1=$\frac{2(n+2)}{n+1}$an(n∈N*),则$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2013}}$=$\frac{2015}{2013}$.分析 通过an+1=$\frac{2(n+2)}{n+1}$an可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n+2}{n+1}$、$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2•$\frac{n+1}{n}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2•$\frac{n}{n-1}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2•$\frac{3}{2}$,利用累乘法可知an=(n+1)•2n-1,利用错位相减法可知Sn=a1+a2+…+an=n•2n,进而计算可得结论.
解答 解:∵an+1=$\frac{2(n+2)}{n+1}$an(n∈N*),
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n+2}{n+1}$,
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2•$\frac{n+1}{n}$,
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2•$\frac{n}{n-1}$,
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2•$\frac{3}{2}$,
累乘得:$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2n-1•$\frac{n+1}{2}$,
∴an=2n-1•$\frac{n+1}{2}$•a1=(n+1)•2n-1,
记Sn=a1+a2+…+an
=2•20+3•21+4•22+…+(n+1)•2n-1,
∴2Sn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n,
∴-Sn=Sn-2Sn
=2+21+22+23+…+2n-1-(n+1)•2n
=2+$\frac{2(1-{2}^{n-1})}{1-2}$-(n+1)•2n
=-n•2n,
∴Sn=n•2n,
∴$\frac{{a}_{2014}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2013}}$=$\frac{{a}_{2014}}{{S}_{2013}}$
=$\frac{2015•{2}^{2013}}{2013•{2}^{2013}}$
=$\frac{2015}{2013}$,
故答案为:$\frac{2015}{2013}$.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | f($\frac{2}{3}$)>f($\frac{3}{2}$)>f($\frac{1}{3}$) | B. | f($\frac{2}{3}$)>f($\frac{1}{3}$)>f($\frac{3}{2}$) | C. | f($\frac{3}{2}$)>f($\frac{3}{2}$)>f($\frac{1}{3}$) | D. | f($\frac{1}{3}$)>f($\frac{3}{2}$)>f($\frac{2}{3}$) |