Question

3．一个正方体的底面积与一个圆柱的底面积相等，且侧面积相等，求正方体和圆柱体的体积之比．

Answer 1

分析 设出正方体的棱长a和圆柱的底面半径r，由题意可得a与r的关系，把正方体和圆柱体的体积之比转化为含有a与r的比值的关系得答案．

解答 解：设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，
则由题意可得a²=πr²  ①，
正方体的侧面积为4a²，圆柱侧面积为2πrh，
则4a²=2πrh  ②，
联立①②，得：h=2r，
∴V_正方体=a³，${V}_{圆柱}=π{r}^{2}h=2π{r}^{3}$，
则$\frac{{V}_{正方体}}{{V}_{圆柱}}=\frac{1}{2π}•（\frac{a}{r}）^{3}$，
又由①得：$\frac{a}{r}=\sqrt{π}$，
∴则$\frac{{V}_{正方体}}{{V}_{圆柱}}=\frac{1}{2π}•（\frac{a}{r}）^{3}$=$\frac{1}{2π}•（\sqrt{π}）^{3}=\frac{\sqrt{π}}{2}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．