Question

15．已知函数f（x）=mx+$\frac{n}{x}$（x＞0，m、n∈R）．
（1）若m=n=1，求f（x）的最小值；
（2）若对任意满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{\frac{1}{m}+\frac{4}{n}≤1}\end{array}\right.$的m、n均有f（x）≥9成立，求x的范围．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）利用基本不等式的性质转化为$x+\frac{4}{x}$+4≥9，解出即可．

解答 解：（1）∵m=n=1，x＞0，
∴函数f（x）=mx+$\frac{n}{x}$=x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取等号．
∴f（x）的最小值为1；
（2）对任意满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{n＞0}\\{\frac{1}{m}+\frac{4}{n}≤1}\end{array}\right.$，的m、n均有f（x）≥9成立，（x＞0）．
∴$mx+\frac{n}{x}$≥$（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）$$（mx+\frac{n}{x}）$=x+$\frac{n}{mx}+\frac{4mx}{n}$+$\frac{4}{x}$≥$x+\frac{4}{x}$+2$\sqrt{\frac{n}{mx}×\frac{4mx}{n}}$=x+$\frac{4}{x}$+4，当且仅当n=4mx时取等号．
令$x+\frac{4}{x}$+4≥9，
化为x²-5x+4≥0，
解得x≥4，或0＜x≤1．
∴x的范围是（0，1]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．