Question

12．已知数列{a_n}的首项为1，并且对任意n∈N₊，都有a_n＞0．设其前n项和为S_n，若以（a_n，S_n）（n∈N₊）为坐标的点在曲线y=$\frac{x（x+1）}{2}$上运动，则数列{a_n}的通项公式为a_n=n．

Answer 1

分析 运用函数性得出2S_n=a_n²+a_n，2S_n-1=²+a_n-1，相减得出，
分解因式：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，得出a_n-a_n-1=1，n≥2，
判断等差数列，运用性质求解即可．

解答 解：根据题意得出：S_n=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}{2}$，
2S_n=a_n²+a_n，
2S_n-1=²+a_n-1，
相减得出：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵对任意n∈N₊，都有a_n＞0
∴∴数列{a_n}的首项为1，公差为1，
即运用通项公式得出：a_n=n，
故答案为：a_n=n．

点评 本题考查了数列在函数中的应用，根据S_n与a_n关系求解，分解因式等方法求解方程的根，属于中档题．