题目内容

对于函数f(x),若存在x0∈R,使?f(x0)?=x0成立,则称x0f(x)的不动点,已知函数?f(x)?=ax2+?(b+1)x+(b-1)(a≠0).??

(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;?

(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;?

(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上AB两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且AB两点关于直线y=kx+对称,求b的最小值.

解析:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.?

由题意可知x=x2-x-3,得x1=-1,x2=3.?

故当a=1,b=-2时,f(x)的两个不动点为(-1,-1)和(3,3).?

(2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有两个不动点,?

x=ax2+(b+1)x+(b-1),即ax2+bx+(b-1)=0恒有两个相异的实数根,可知Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立.于是有Δ′=(4a)2-16a<0,解之得?0<a<1.??

故当b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时,a的取值范围是0<a<1.?

(3)由题意,A、B两点应在直线y=x上,设A(x1,x1),?B(x2,x2).??

∵点A、B关于直线y=kx+对称,

k=-1.?

设AB的中点为M(x′,y′),?

x1x2是方程ax2+bx+(b-1)=0的两个根,?

x′=y′= =-.于是,由M在直线y=-x+上,得-=+,即?

b=-=-.?

a>0,

2a+ ≥2.?

当且仅当2a=,即a=∈(0,1)时取等号.?

故b≥-.∴bmin=-.

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