Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面的菱形，∠BCD=60°，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD，
（1）求证：PD⊥BC；
（2）若AB=6

3

，PC=6

2

，求二面角P-AD-C的大小；
（3）在（2）的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接DB，DE⊥BC而PO⊥平面ABCD，则OD是斜边PD在底面ABCD内的射影，根据三垂线定理可知PD⊥BC；
（2）根据二面角平面角的定义可知∠PDO为二面角P-AD-C的平面角，在Rt△POD中，求出∠PDO即可；
（3）取AD中点H，连接HB，HP则HB∥DE，HB与PB所成的角既是DE与PBD所成角，连接OH，OB，在Rt△DOH中，求出OH，在Rt△PHO中，求出PH，在Rt△POB中，求出PB，设HB与PB所成角为α，利用余弦定理可求出此角．

解答：解：（1）证明：在菱形ABCD中，连接DB则△BCD是等边三角形．
点E是BC边的中点
∴DE⊥BC
∵PO⊥平面ABCD
∴OD是斜边PD在底面ABCD内的射
∴PD⊥BC

（2）解：由（1）知DE⊥BC
菱形ABCD中AD∥BC∴DE⊥AD有∵PO⊥平面ABCD
DE是PD在平面ABCD的射影
∴PD⊥AD
∴PDO为二面角P-AD-C的平面角
菱形ABCD中，AD⊥DE
由（1）知△BCD为等边三角形
∵点E是BC边的中点AC与BD互相平分
∴点O是△BCD重心∵AB=

6	3

又∵在等边△BCD中，
DO=

2

3

DE=

2

3

3

2

BC=

3

3

•

6	3

=6
∴OC=OD=6∵PC=

6	2

∴PO=6
∴在Rt△POD中，tan∠PDO=

PO

DO

=

6

6

=1∴∠PDO=

π

4

∴二面角P-AD-C的大小为

π

4

（3）解：取AD中点H，连接HB，HP则HB∥DE
∴HB与PB所成的角既是DE与PBD所成角
连接OH，OB
∵PO⊥平面ABCD，OH，OB?平面ABCD
∴PO⊥OH，PO⊥OB
在Rt△DOH中，HD=3

3

OD=6
∴OH=3

7

在Rt△PHO中，PH=

PO2+OH2

=

99

在Rt△POB中，OB=OC=6，PB=

PO2+OB2

=6

2

由（2）可知DE=HB=9
设HB与PB所成角为α
则cosα=

HB2+PB2-PH2

2HBPB

=

2

4

异面直线PB，DE所成角的余弦值为

2

4

点评：求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．