题目内容
若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，方程的根称为特征根； 数列{an}的通项公式an均可用特征根求得：
①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；
②若方程x2=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常数）；
再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an．根据上述结论求下列问题：
（1）当a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（2）当a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（3）当a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）时，记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．
①若方程x2=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常数）；
②若方程x2=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常数）；
再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，进而求得an．根据上述结论求下列问题：
（1）当a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（2）当a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）时，求数列{an}的通项公式；
（3）当a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）时，记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．
分析：（1）根据已知条件求出an+2=5an+1-6an的特征方程为：x2-5x+6=0及其特征根x1=2，x2=3，利用待定系数法求出
c1=c2=1，进一步求出数列{an}的通项公式；
（2）先将已知条件变形为（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1），设bn=an+1，构造新数列{ bn}，通过求特征方程的特征根求出数列{ bn}的通项公式，进一步求出数列{an}的通项公式；
（3）先通过求特征方程的特征根的方法求出通项公式an=
[(
)n-(
)n]，n∈N*，代入Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，化简得到 Sn+2=3Sn+1-Sn，通过不完全归纳找规律得到结论．
c1=c2=1，进一步求出数列{an}的通项公式；
（2）先将已知条件变形为（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1），设bn=an+1，构造新数列{ bn}，通过求特征方程的特征根求出数列{ bn}的通项公式，进一步求出数列{an}的通项公式；
（3）先通过求特征方程的特征根的方法求出通项公式an=
| 1 | ||
|
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
解答：解：（1）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：x2-5x+6=0，x1=2，x2=3…（3分）
所以 设 an=c1•2n+c2•3n，由
得到c1=c2=1，
所以 an=2n+3n； …（6分）
（2）由an+2=2an+1+3an+4可以得到（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）
设bn=an+1，则上述等式可以化为：bn+2=2bn+1+3bn…（8分）
b1=a1+1=2，b2=a2+1=12，所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为：x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3…（10分）
所以令 bn=c1•3n+c2•（-1）n，由b1=2，b2=12可以得出
所以bn=
•3n+
•(-1)n…（11分）
即 an=
•3n+
•(-1)n-1，n∈N*…（12分）
（3）同样可以得到通项公式an=
[(
)n-(
)n]，n∈N*…（14分）
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=
[(
)1-(
)1]+
[(
)2-(
)2]+
[(
)3-(
)3]+…+
[(
)n-(
)n]=
[
(
)1+
(
)2+
(
)3+…+
(
)n]-
[
(
)1+
(
)2+
(
)3+…+
(
)n]=
[(1+
)n-(1+
)n]=
[(
)n-(
)n]
即 Sn=
[(
)n-(
)n]， n∈N*…（14分）Sn+2=
[(
)n+2-(
)n+2]=
[(
)n+1-(
)n+1]••[(
)+(
)]-[(
)n-(
)n]=3Sn+1-Sn
即 Sn+2=3Sn+1-Sn，n∈N*…（16分）
因此Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1，Sn除以8的余数确定，
因为a1=1，a2=1所以 S1=C11a1=1，S2=C21a1+C22a2=3，S3=3S2-S1=9-1=8，S4=3S3-S2=24-3=21，S5=3S4-S3=63-8=55，S6=3S5-S4=165-21=144，S7=3S6-S5=432-55=377，S8=3S7-S6=1131-144=987，S9=3S8-S7=2961-377=2584，
由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知，数列{Sn}各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，它是一个以6为周期的数列，从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数，所以n=3k，k∈N*，
即所求集合为：{n|n=3k，k∈N*}…（18分）
所以 设 an=c1•2n+c2•3n，由
|
所以 an=2n+3n； …（6分）
（2）由an+2=2an+1+3an+4可以得到（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）
设bn=an+1，则上述等式可以化为：bn+2=2bn+1+3bn…（8分）
b1=a1+1=2，b2=a2+1=12，所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为：x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3…（10分）
所以令 bn=c1•3n+c2•（-1）n，由b1=2，b2=12可以得出
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所以bn=
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| 6 |
| 3 |
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即 an=
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| 6 |
| 3 |
| 2 |
（3）同样可以得到通项公式an=
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1+
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| 2 |
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=
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| C | 1 n |
1+
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| 2 |
1-
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| 2 |
| 1 | ||
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| C | 2 n |
1+
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| 2 |
1-
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| 2 |
| 1 | ||
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| C | 3 n |
1+
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| 2 |
1-
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| 2 |
| 1 | ||
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| C | n n |
1+
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| 2 |
1-
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| 1 | ||
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| C | 1 n |
1+
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| C | 2 n |
1+
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| C | 3 n |
1+
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| C | n n |
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| C | 1 n |
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| C | 2 n |
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| C | n n |
1-
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3+
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即 Sn=
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| 2 |
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| 2 |
即 Sn+2=3Sn+1-Sn，n∈N*…（16分）
因此Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1，Sn除以8的余数确定，
因为a1=1，a2=1所以 S1=C11a1=1，S2=C21a1+C22a2=3，S3=3S2-S1=9-1=8，S4=3S3-S2=24-3=21，S5=3S4-S3=63-8=55，S6=3S5-S4=165-21=144，S7=3S6-S5=432-55=377，S8=3S7-S6=1131-144=987，S9=3S8-S7=2961-377=2584，
由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知，数列{Sn}各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，它是一个以6为周期的数列，从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数，所以n=3k，k∈N*，
即所求集合为：{n|n=3k，k∈N*}…（18分）
点评：本题考查通过题中的新定义求数列通项的方法，解决问题的关键是理解透题目中的新定义，在高考中场出现在小题中，本题属于难题．
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