Question

（本小题满分14分）设b>0，椭圆方程为，抛物线方程为。如图所示，过点F（0，b + 2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）点G、所在的直线截椭圆的右下区域为D，

若圆C：与区域D有公共点，求m的最小值。

Answer 1

【解析】解：（1）由x²=8(y-b)得 y=x²+b当y=b+2时，x=±4，∴G点的坐标为(4,b+2)

，过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4，即y=x+b-2

令y=0得x=2-b，∴F₁点的坐标为(2-b,0)；

由椭圆方程得F₁点的坐标为(b,0)，

∴2-b=b  即b=1

因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和x²=8(y-1)

    （2）直线G的直线方程为：，

         圆，圆心C(m,0)，半径

         若圆C与直线G相切，则，

         由圆心向直线G引垂线，易得:

       联立，点M，

      所以m的最小值为。