Question

9．在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C，b=4，a+c=8，求a，c的长．

Answer 1

分析 根据正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{a+c}{sinA+sinC}$，结合已经条件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简整理，得8cos²C-2cosC-3=0，解出锐角C的余弦值为$\frac{3}{4}$．最后利用余弦定理建立关系式，结合a+c=8即可解出边a、c的长．

解答 解：根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得$\frac{b}{sinB}=\frac{a+c}{sinA+sinC}$，
∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，
∴$\frac{4}{sin（π-3C）}$=$\frac{8}{sin2C+sinC}$，可得sin2C+sinC=2sin（π-3C）=2sin3C，
∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1），
∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos²C+sinC（2cos²C-1）]，
结合sinC＞0，化简整理得：8cos²C-2cosC-3=0，
解之得cosC=$\frac{3}{4}$或cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵∠A＞∠B＞∠C，得C为锐角，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$不符合题意，舍去，
根据余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{4}^{2}-（8-a）^{2}}{2×a×4}$=$\frac{3}{4}$，解之得a=$\frac{24}{5}$，c=8-a=$\frac{16}{5}$，
综上，a、c的长分别为$\frac{24}{5}$、$\frac{16}{5}$．

点评 本题给出△ABC的最大角等于最小角的2倍，最大边与最小边之和等于第三边的2倍，求边a、c的长．着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．