题目内容
20．已知△ABC的三边长分别为5，6，7，点O是△ABC三个角分线的交点，若BC=7，则△OBC的面积为$\frac{7\sqrt{6}}{3}$．分析 由题意和余弦定理求出cosC的值，由平方关系和内角的范围求出sinC的值，代入三角形面积公式求出△ABC的面积，根据三角形角平分线的性质、面积相等点O到BC的距离，再求出△OBC的面积．
解答 解：由题意得，△ABC的三边长分别为5，6，7，且BC=7，
不妨设AB=5，AC=6，
由余弦定理得，cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{36+49-25}{2×6×7}$=$\frac{5}{7}$，
又0＜C＜π，则sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×BC×AC×sinC$=$\frac{1}{2}×7×6×\frac{2\sqrt{6}}{7}$=$6\sqrt{6}$，
因为点O是△ABC三个角分线的交点，所以点O到各个边的距离相等，
设点O到各个边的距离是h，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$（5+6+7）h=$6\sqrt{6}$，解得h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以△OBC的面积S=$\frac{1}{2}×BC×h$=$\frac{1}{2}×$7×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{7\sqrt{6}}{3}$
故答案为：$\frac{7\sqrt{6}}{3}$．
点评 本题考查余弦定理，三角函数的平方关系，三角形的面积公式，三角形角平分线的性质，以及等积法的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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上的函数
满足：①
；②
；③当
时，
，则
、
、
满足（ ）
中，对所有的正整数
都有
，则
（ ）
B．
C．
D．
已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点D（1，$\frac{3}{2}$），且右焦点为F（1，0）右顶点为A，过点F的弦为BC，直线BA，直线CA分别交直线l：x=m（m＞2）于P、Q两点．
12．已知$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），其中x，y，α∈R，若|$\overrightarrow{a}$|=9|$\overrightarrow{b}$|且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤λ2+1恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
| A． | -2$\sqrt{2}$≤λ≤2$\sqrt{2}$ | B． | λ≤-2$\sqrt{2}$或λ≥2$\sqrt{2}$ | C． | λ≥2$\sqrt{2}$ | D． | λ≤-2$\sqrt{2}$ |
