Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁为

x=acosφ y=sinφ

（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C₁的交点为A，与C₂除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）设C₁与y轴正半轴交点为D，当a=

π

4

时，设直线BD与曲线C₁的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．

Answer 1

分析：（1）直接把极坐标方程中两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化极坐标方程为直角坐标方程，利用同角三角函数基本关系式消掉φ把参数方程化为直角坐标方程，然后把直线方程和两曲线方程联立后由|AB|=4求出a，则直角坐标方程可求；
（2）求出B和D的坐标，写出直线BD的参数方程，和曲线C₁ 联立后利用参数的几何意义求解|BD|+|BE|．

解答：解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ²=6ρcosφ，所以C₂的直角坐标方程是x²+y²-6x=0
由已知得C₁ 的直角坐标方程是

x2

a2

+y2=1，
当α=0时射线与曲线C₁，C₂交点的直角坐标为（a，0），（6，0），
∵|AB|=4，∴a=2，C₁ 的直角坐标方程是

x2

4

+y2=1①
（2）联立x²+y²-6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．
又可得D（1，0），∴kBD=

3

2

，∴BD的参数方程为

x=3+ 2 13 t y=3+ 3 13 t

（t为参数）②
将②带入①得

25

13

t2+

66

13

t+41=0，设D，E点的参数是t₁，t₂，则
t1+t2=

-66 13

25

，t1t2=

533

25

，|BD|+|BE|=|t1+t2|=

66 13

25

．

点评：本题考查了点的极坐标与直角坐标的互化，考查了直线参数方程中参数的几何意义，考查了椭圆的标准方程，对直线参数方程中参数的几何意义的理解是解答该题的关键．