题目内容
如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.(I)求点P到平面ABCD的距离,
(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.
分析:(1)侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,△PAD与菱形ABCD有公共边AD,所以△PAD≌△ADB≌△CDB,故作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连接PE.于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,为120°,所以PO=PE•sin60°=
.
(2)解法一:
建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA,OB为y轴,OP为z轴,连接AG.
则:P(0,0,
),B(0,
,0),PB的中点G的坐标为(0,
,
),A(1,
,0),C(-2,
,0).根据坐标运算即可求得面APB与面CPB所成二面角的大小.这种解法的好处就是:(1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.(2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可.
解法二:
求解二面角的大小,关键在于作出它的平面角.取PB的中点G,PC的中点F,连接EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=
BC.因为AD⊥PB,所以BC⊥PB,FG⊥PB,所以∠AGF是所求二面角的平面角.
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(2)解法一:
建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA,OB为y轴,OP为z轴,连接AG.
则:P(0,0,
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解法二:
求解二面角的大小,关键在于作出它的平面角.取PB的中点G,PC的中点F,连接EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=
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解答:(I)解:如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连接PE.
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,
∵PA=PD,∴OA=OD,
于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE•sin60°=
×
=
,
即点P到平面ABCD的距离为
.
(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.P(0,0,
),B(0,
,0),PB中点G的坐标为(0,
,
).连接AG.
又知A(1,
,0),C(-2,
,0).由此得到:
=(1,-
,-
),
=(0,
,-
),
=(-2,0,0).
于是有
•
=0,
•
=0
所以
⊥
•
⊥
.
,
的夹角θ
等于所求二面角的平面角,
于是cosθ=
=-
,
所以所求二面角的大小为π-arccos
.
解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连接EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=
BC.
∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.
又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中,EG=PE•cos60°=
.
在Rt△PEG中,EG=
AD=1.
于是tan∠GAE=
=
,
又∠AGF=π-∠GAE.
所以所求二面角的大小为π-arctan
.
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,
∵PA=PD,∴OA=OD,
于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
由已知可求得PE=
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∴PO=PE•sin60°=
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即点P到平面ABCD的距离为
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(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.P(0,0,
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又知A(1,
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GA |
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PB |
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BC |
于是有
GA |
PB |
BC |
PB |
所以
GA |
PB |
BC |
PB |
GA |
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等于所求二面角的平面角,
于是cosθ=
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所以所求二面角的大小为π-arccos
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解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连接EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG∥BC,FG=
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∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.
又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中,EG=PE•cos60°=
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在Rt△PEG中,EG=
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于是tan∠GAE=
EG |
AE |
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又∠AGF=π-∠GAE.
所以所求二面角的大小为π-arctan
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点评:本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.
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