题目内容
【题目】对于函数,如果存在实数
使得
,那么称
为
的线性函数.
(1)下面给出两组函数,判断是否分别为
的线性函数?并说明理由;
第一组:
第二组::
(2)设,线性函数为
.若等式
在
上有解,求实数
的取值范围;
(3)设,取
.线性函数
图像的最低点为
.若对于任意正实数
且
.试问是否存在最大的常数
,使
恒成立?如果存在,求出这个
的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)第一组是,第二组不是,理由见解析;(2);(3)存在,
.
【解析】
(1)将三个函数的表达式代入,求出
,
的值;类似方法无法求出
,
的值;
(2)由已知得,从而
在
上有解,利用参变分离得
,求出
函数的值域,即为实数
的取值范围,从而得到
的取值范围;
(3)由题意得,,从而
,
,假设存在最大的常数
,使
恒成立,设
,从而转化为求
的最小值即可.
(1)第一组:
,
解得:,所以
,
第一组函数
是
,
的生成函数.
第二组:设,
即,
则,该方程组无解.
不是
,
的生成函数.
(2);
,
,
生成函数
,
,
在
上有解,
在
上有解,
,
,
。
实数
的取值范围是
.
(3)由题意得,,
,则
,
故,解得
,
,
,
假设存在最大的常数,使
恒成立.
于是设
,
设,又
,则
,即
,
设,
,
,
,
在
上单调递减,从而
.
故存在最大的常数.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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