Question

16．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若存在过椭圆左焦点的直线L交椭圆于P、Q两点，使得OP⊥OQ，则椭圆离心率的取值范围为$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意设直线L的方程为：my=x+c，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0．由$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用根与系数的关系化为：m²=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{b}^{4}}{{b}^{4}+{b}^{2}{c}^{2}}$≥0，解出即可．

解答 解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意设直线L的方程为：my=x+c，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2mc{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-{b}^{4}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（my₁-c）（my₂-c）+y₁y₂=0，
∴（m²+1）y₁y₂-cm（y₁+y₂）+c²=0，
∴$\frac{-{b}^{4}（{m}^{2}+1）}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$-$\frac{2{m}^{2}{c}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$+c²=0，
化为：m²=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{b}^{4}}{{b}^{4}+{b}^{2}{c}^{2}}$≥0，
∴a²c²-（a²-c²）²≥0，
∴（e²+e-1）（e²-e-1）≤0，
∵0＜e＜1，
∴e²-e-1≤0，
∴e²+e-1≥0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≤e＜1．
∴椭圆离心率的取值范围为$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，1）$．
故答案为：$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，1）$．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系、向量垂直与数量积的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．