Question

16、如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠BCD=60°，△PAB为正三角形，点E，F分别是CD、CP的中点，连接BE、BF、EF．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）求证：平面BEF⊥平面ABCD；
（3）问：在BE上是否存在点G，使得FG∥平面PAB，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点M，连接PM、DM，由已知中四边形ABCD为菱形，∠BCD=60°，△PAB为正三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质得到DM⊥AB，PM⊥AB，结合线面垂直的判定定理，即可得到AB⊥PD；
（2）由已知中点E，F分别是CD、CP的中点，结合（1）的结论及正三角形的，我们易得AB⊥BE，AB⊥EF，由线面垂直的判定得到可得AB⊥平面BEF，再由面面垂直的判定定理即可得到平面BEF⊥平面ABCD；
（3）取BE，BC的中点分别为G，H，连接FG，GH，由三角形中位线定理，可证GH∥AB，再由线面平行的判定定理得GH∥平面PAB，同理可证FH∥平面PAB，再结合面面平行的判定定理，可得平面FGH∥平面PAB，进而由面面平行的性质得到FG∥平面PAB，最终得到结论．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAD=∠BCD=60°，AB=AD，∴△ABD为正三角形．
取AB的中点M，连接PM、DM，则DM⊥AB…（2分）
∵△PAB为正三角形，∴PM⊥AB．又∵PM∩DM=M，PM，DM?平面PMD，∴AB⊥平面PMD，…（4分）
∵PD?平面PMD∴AB⊥PD…（5分）
（2）∵E，F是CD，CP的中点，∴EF∥PD由（1）知AB⊥PD，∴AB⊥EF…..（6分）
∵△BCD为正三角形，∴BE⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥BE…..（7分）
∵EF∩BE=E，EF，BE?平面BEF，∴AB⊥平面BEF，…（8分）
又∵AB?平面ABCD，∴平面BEF⊥平面ABCD…（9分）
（3）存在点G，使得FG∥平面PAB…..（10分）
证明：取BE，BC的中点分别为G，H，连接FG，GH，则GH∥CD．
∵CD∥AB，∴GH∥AB，
∵AB?平面PAB，GH?平面PAB，∴GH∥平面PAB…．（12分）
∵F，H别是PC，BC的中点，同理可证：FH∥平面PAB
∵GH∩FH=H，∴平面FGH∥平面PAB，…（13分）
又∵FG?平面FGH，∴FG∥平面PAB…．（14分）

点评：本题考查的知识是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间平行（垂直）的判定定理，性质定理、定义、几何特征及相互之间的转化关系是解答本题的关键．