题目内容

设函数f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2+bx+c
,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为x轴
(1)若x=1为f(x)的极值点,求f(x)的解析式
(2)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围.
分析:(1)考查导数的运用,理清题意,列出方程解出a、b、c,从而确定解析式
(2)考查学生构建函数能力,要求学生要有一定的转化能力,利用导数求出函数的极大值和极小值,数形结合解决
解答:解:由f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2+bx+c
得:f(0)=c,f'(x)=x2-ax+b,f'(0)=b.
又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为x轴,得f(0)=0,f'(0)=0.
故b=0,c=0.(2分)
(I)又f'(1)=0,
所以a=1,f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2
(4分)
(II)f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2,f′(x)=x2-ax
.由于点(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f'(t)(x-t),而点(0,2)在切线上,
所以2-f(t)=f'(t)(-t),
化简得
2
3
t3-
a
2
t2+2=0
,即t满足的方程为
2
3
t3-
a
2
t2+2=0
.(6分)
过点(0,2)可作y=f(x)的三条切线,等价于方程2-f(t)=f'(t)(0-t)
有三个相异的实根,即等价于方程
2
3
t3-
a
2
t2+2=0
有三个相异的实根.设g(t)=
2
3
t3-
a
2
t2+2.g′(t)=2t2-at=2t(t-
a
2
).由于a>0

故有精英家教网
由g(t)的单调性知:要使g(t)=0有三个相异的实根,
当且仅当
g(0)>0
g(
a
2
)<0
时满足,
2>0
2-
a3
24
<0
a>2
36

∴a的取值范围是(2
36
,+∞).
(12分)
点评:本题考查导数的综合运用以及数形结合的运用能力,对学生有一定的能力要求,有一定的难度
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