Question

已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.

Answer 1

（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.

解析试题分析：（1）设Q（x₀，4），代入由中得x₀=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可
（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂), M(x₃,y₃),N(x₄,y₄),根据二次函数根与系数的关系可得y₁+y₂=4m，y₁y₂=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.
试题解析：（1）设Q（x₀，4），代入由中得x₀=，
所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.
所以C的方程为.
（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得
，
设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),则y₁+y₂=4m，y₁y₂=－4，
故AB的中点为D（2m²+1,2m），，
有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得
.
设M(x₃,y₃),N(x₄,y₄),则.
故MN的中点为E（）.
由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得
m²-1=0，解得m=1或m=－1，
所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
考点：1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.