题目内容

(本小题满分13分)
已知双曲线的两条渐近线分别为.

(1)求双曲线的离心率;
(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由.

(1)  ;(2)存在

解析试题分析:(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.
(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.
试题解析:(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.
轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时,双曲线E:也满足条件.
设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则,记.由,得,同理得.由得, .
得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.
考点:1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.

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