题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点S (0, -
1
2
)
且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点,求|MN|的值.
分析:(Ⅰ)把抛物线和直线方程联立消去y,根据△=0求出b,再根据两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形得出a和b的关系式,求得a;
(Ⅱ)将直线l:y=x-
1
2
与椭圆方程联立,消去y,利用韦达定理,即可求|AB|.
解答:解:(Ⅰ)直线x-y+b=0与抛物线y2=4x联立,消去y得:x2+(2b-4)x+b2=0
∵直线x-y+b=0与抛物线y2=4x相切,
∴△=(2b-4)2-4b2=0,∴b=1,
∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴a=
2
b=
2

∴所求椭圆方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)将直线l:y=x-
1
2
与椭圆方程联立,消去y可得3x2-2x-
3
2
=0
设点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=
2
3
,x1x2=-
1
2

∴|AB|=
1+1
|x1-x2|=
2
4
9
+2
=
2
11
3
点评:本题考查直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程,考查韦达定理的运用,属于中档题.
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