题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
.
(1)证明:平面
;
(2)若,
为棱
的中点,
,
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)由矩形性质及面面垂直性质,可证明平面
,从而可知
,结合题意
,即可由线面垂直的判定定理证明
平面
;
(2)取中点
,连接
可证明
面
,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,设
,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面
和平面
的法向量,即可由空间向量法求得二面角
的余弦值,进而结合同角三角函数关系式求得正弦值.
(1)证明:∵四边形是矩形
∴
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
∴平面
,
∴
又∵,
平面
∴平面
(2)取中点
,连接
,
∵,
∴,
又面面
,且面
面
,
∴面
,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,设
,
建立空间直角坐标系
由(1)知平面
,故
∴,设
,
可得,
,
,
所以,
,由题得
,解得
,
∴,
,
设是平面
的法向量,则
,即
,得
,
设是平面
的法向量,则
,即
,得
,
则,
∴.
∴二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值;
(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?
擅长 | 不擅长 | 合计 | |
男性 | 30 | ||
女性 | 50 | ||
合计 | 100 |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(,其中
)
【题目】为了提高生产效益,某企业引进了一批新的生产设备,为了解设备生产产品的质量情况,分别从新、旧设备所生产的产品中,各随机抽取100件产品进行质量检测,所有产品质量指标值均在(15,45]以内,规定质量指标值大于30的产品为优质品,质量指标值在(15,30]的产品为合格品.旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示,新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.
质量指标 | 频数 |
(15,20] | 2 |
(20,25] | 8 |
(25,30] | 20 |
(30,35] | 30 |
(35,40] | 25 |
(40,45] | 15 |
合计 | 100 |
(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.
(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标,优质品率越高说明设备的性能越高.根据已知图表数据填写下面列联表(单位:件),并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.
非优质品 | 优质品 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
,其中
.
(3)用频率代替概率,从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品,其中优质品数为X件,求X的分布列及数学期望.