题目内容
【题目】为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在（15，45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在（15，30]的产品为合格品.旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.
质量指标 | 频数 |
（15，20] | 2 |
（20，25] | 8 |
（25，30] | 20 |
（30，35] | 30 |
（35，40] | 25 |
（40，45] | 15 |
合计 | 100 |
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高.根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.
非优质品 | 优质品 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
，其中
.
（3）用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取3件产品，其中优质品数为X件，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）70%，55%（2）见解析，有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.（3）见解析，2.1
【解析】
（1）由频数分布表可知，将（30，45]的频数相加，再除以100，即为新设备的优质品率；由频率分布直方图可知，将（30，45]的频率/组距相加，再乘以组距即为旧设备的优质品率；
（2）先填写2×2列联表，再根据
的公式计算其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；
（3）由（1）知，新设备所生产的优质品率为0.7，而X的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.
（1）估计新设备所生产的产品的优质品率为
，
估计旧设备所生产的产品的优质品率为
（2）补充完整的2×2列联表如下所示，
非优质品 | 优质品 | 合计 | |
新设备产品 | 30 | 70 | 100 |
旧设备产品 | 45 | 55 | 100 |
合计 | 75 | 125 | 200 |
∴
，
∴有95%的把握认为“产品质量高与新设备有关”.
（3）由（1）知，新设备所生产的优质品率为0.7，而X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴
，
，
，
.
∴X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0.027 | 0.189 | 0.441 | 0.343 |
数学期望
.
