题目内容
【题目】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=2,∠ABC=60°,平面ACEF⊥平面ABCD,四边形ACEF是菱形,∠CAF=60°.
(1)求证:BC⊥平面ACEF;
(2)求平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)解:在梯形ABCD中,AB∥CD,
AD=DC=CB=2,∠ABC=60°,∴∠ADC=DCB=120°,∠DCA=∠DAC=30°,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
又∵平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,
∴BC⊥平面ACEF
(2)解:取G为EF中点.连CG
∵四边形ACEF是菱形,∠CAF=60°,∴CG⊥EF即CG⊥AC
与(1)同理可知CG平面ABCD
如图所示,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,
则有 ,
, ,
设 是平面ABF的一个法向量,
则 ,即 ,取 .
设 是平面ADF的一个法向量,则 ,即 ,取 .
设平面ABF与平面ADF所成锐二面角为θ,则 ,
即平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值为 .
【解析】(1)证明 BC⊥AC,由平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,得BC⊥平面ACEF (2)以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求出法向量即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想).
【题目】某次数学测试之后,数学组的老师对全校数学总成绩分布在[105,135)的n名同学的19题成绩进行了分析,数据整理如下:
组数 | 分组 | 19题满分人数 | 19题满分人数占本组人数比例 |
第一组 | [105,110] | 15 | 0.3 |
第二组 | [110,115) | 30 | 0.3 |
第三组 | [115,120) | x | 0.4 |
第四组 | [120,125) | 100 | 0.5 |
第五组 | [125,130) | 120 | 0.6 |
第六组 | [130,135) | 195 | y |
(Ⅰ)补全所给的频率分布直方图,并求n,x,y的值;
(Ⅱ)现从[110,115)、[115,120)两个分数段的19题满分的试卷中,按分层抽样的方法抽取9份进行展出,并从9份试卷中选出两份作为优秀试卷,优秀试卷在[115,120)中的分数记为ξ,求随机变量ξ的分布列及期望.