Question

【题目】已知．

（1）若函数的单调递减区间为，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据单调减函数，求得实数的值，再根据导数的几何意义，即可求得切线的方程；

（2）分离参数，得到恒成立，求出函数的最大值，即可求得的范围.

（1）由题意，函数，可得，

函数的单调递减区间为，可得的解集为，

即方程的两根分别是，

将或，代入，解得，即，

则，所以，

所以函数的图象在点处的切线的斜率为，

所以函数的图象在点处的切线的方程为，即.

（2）因为不等式恒成立，

即对于一切恒成立，

整理可得对于一切恒成立，

设，则，

令，即，解得（舍去），

所以当时，单调递增，当时，单调递减，

所以当时，取得最大值，

所以，即实数的取值范围是.