题目内容
【题目】设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】试题分析：（1）根据图形中圆的半径相等及平行线同位角相等容易得出EB=ED，得出结论|EA|＋|EB|为定值，利用定义可以判断出点E的轨迹为椭圆，求出方程，但要注意标注范围；（2）求对角线互相垂直的四边形面积的最值，首先设直线方程联立方程组求弦长，表示出四边形的面积，再求出面积的最值，注意直线的斜率不存在的情形.
试题解析：
(1)∵|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，
∴|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，
从而|AD|＝4.
∴|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的迹方程为：
(y≠0).
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
则x1＋x2＝
，x1x2＝
.
∴|MN|＝
|x1－x2|＝
.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：
y＝－
(x－1)，A到m的距离为
，
∴|PQ|＝2
.
故四边形MPNQ的面积
S＝
|MN||PQ|＝12
.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8
)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8 ).
