Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）是否存在实数，使得与的单调区间相同，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）若，求证：在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）极小值为，无极大值（2）不存在满足题意的实数．（3）见证明

【解析】

（1）当 时,可求导判断单调性，从而确定极值;

（2）先求出的单调区间，假设存在，发现推出矛盾，于是不存在；

（3）若，令，求的单调性即可证明不等式成立.

解：（1）当 时，，

在 上单调递减，在 上单调递增

当 时，极小值为，无极大值

（2），令

则,在上单调递减，在上单调递增

若存在实数，使得与的单调区间相同，

则，

此时，与在上单调递减矛盾，

所以不存在满足题意的实数．

（3），记.

，又在上单调递增，且

知在上单调递增，故.

因此，得证．