Question

如图，P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，xy≠0)上的动点，F₁、F₂是双曲线的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且

F2M

•

MP

=0．某同学用以下方法研究|OM|：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂M的中点，得|OM|=

1

2

|NF1|=…=a．类似地：P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上的动点，F₁、F₂是椭圆的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且

F2M

•

MP

=0．则|OM|的取值范围是 ______．

Answer 1

延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，
且M为F₂M的中点，
则|OM|=

1

2

|NF1|=a-|F₂M|
∵a-c＜|F₂M|＜a
故0＜|OM|＜c=

a2-b2

故|OM|的取值范围是(0，

a2-b2

)
故答案为：(0，

a2-b2

)