Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=ex+ax，其中x＞0，a＜0．
（1）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
（2）若a∈（﹣∞，﹣ ]，且函数g（x）=xeax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：求导，f′（x）=a﹣ = ，F′（x）=ex+a，x＞0，

a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，

当﹣1a＜0时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意

当a＜﹣1时，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），

∴F（x）的单调减区间为（0，ln（﹣a）），单调增区间为（ln（﹣a），+∞）

∵f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，

∴ln（﹣a）ln3，解得：a﹣3，

综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣3]；

（2）解：g′（x）=eax﹣1+axeax﹣1﹣a﹣ =（ax+1）（eax﹣1﹣ ），

由eax﹣1﹣ =0，解得：a= ，设p（x）= ，

则p′（x）= ，

当x＞e2时，p′（x）＞0，当0＜x＜e2，p′（x）＜0，

从而p（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增，

p（x）min=p（e2）=﹣ ，

当a≤﹣ ，a≤ ，即eax﹣1﹣ ≤0，

在（0，﹣ ）上，ax+1＞0，g′（x）≤0，g（x）单调递增，

在（﹣ ，+∞）上，ax+1＜0，g′（x）≥0，g（x）单调递增，

∴g（x）min=g（﹣ ）=M，

设t=﹣ ，∈（0，e2]，M=h（t）= ﹣lnt+1，（0＜t≤e2），

h′（t）= ﹣ ≤0，h（x）在，∈（0，e2]上单调递减，

∴h（t）≥h（e2）=0，

∴M的最小值为0．

【解析】（1）先判断f（x）在（0，+∞）上单调递减，分别讨论﹣1≤a＜0及a＜﹣1，结合F（x）的单调性即可求得区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求得a的取值范围；（2）利用导数研究函数的单调性可得g（x）min=g（﹣ ）=M，构造辅助函数求导，根据函数的单调性即可求得．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．