题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数,α∈[0,π)).以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ. (Ⅰ)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围;
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于两点A,B,求|AB|的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ, 可得ρ2sin2θ=4ρsinθ=0,可得直角坐标方程:x2=4y.
∴x+y=x+ x2= (x+2)2﹣1≥﹣1,
故x+y的取值范围为[﹣1,+∞)
(Ⅱ)直线l: (t为参数)消掉参数t,得到y﹣1=xtanα,
代入到x2=4y,x2﹣4xtanα﹣4=0,
∴x1+x2=4tanα,x1x2=﹣4
∴|AB|= |x1﹣x2|= 4 =4(1+tan2α)≥4.当且仅当α=0取等号,
故|AB|的最小值为4.
【解析】(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4sinθ=0,可得ρ2sin2θ=4ρsinθ,利用互化公式可得直角坐标方程,再根据二次函数的性质即可求出x+y的范围,(Ⅱ)由直线l的参数方程,消去参数t可得普通方程,直线方程与抛物线方程联立化为:x2﹣4xtanα﹣4=0,利用根与系数的关系及其弦长公式即可求出
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