题目内容
【题目】
如图所示的空间几何体,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为.且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上.
(1)求证:DE//平面ABC;
(2)求二面角E—BC—A的余弦;
(3)求多面体ABCDE的体积.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)证明线面平行,需要证明直线平行面内的一条直线即可.
(2)利用三垂线定理作出二面角的平面角即可求解.
(3)求多面体ABCDE的体积,转化两个三棱锥的体积之和,分别求解
(1)由题意知,△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形,
取AC中点O,连接BO,DO,
则BO⊥AC,DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,
那么EF∥DO,根据题意,点F落在BO上,
∴∠EBF=60,易求得EF=DO=
所以四边形DEFO是平行四边形,DE∥OF;∵DE平面ABC,OF平面ABC,∴DE∥平面ABC
(2)
作FG⊥BC,垂足为G,连接EG;
∵EF⊥平面ABC,根据三垂线定理可知,EG⊥BC,
∴∠EGF就是二面角EBCA的平面角,
,
即二面角EBCA的余弦值为.
(3)∵平面ACD⊥平面ABC,OB⊥AC∴OB⊥平面ACD;
又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC,
∴三棱锥EDAC的体积
又三棱锥EABC的体积,
∴多面体DEABC的体积为.
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