Question

12．一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm，
（1）求圆锥体的高；
（2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．

Answer 1

分析 （1）根据圆锥的定义，利用勾股定理加以计算，可得圆锥的高等于8cm；
（2）作出圆锥的轴截面如图，根据球与侧面、底面相切，利用相似三角形的性质列式列式，算出内切球的半径R，进而利用球的体积公式可算出答案．

解答 解：（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵l=10cm，r=6cm，
∴h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{100-36}$=8cm
即圆锥的高等于8cm；
（2）作出圆锥的轴截面如图，球于圆锥侧面相切，
则OE⊥AB于E，BD⊥AD于D，OE=OD=R，（R为球的半径）
则△AEO∽△ADB，可得OE：BD=AO：AB，
即$\frac{R}{6}=\frac{8-R}{10}$，
解之得球半径R=3cm，
因此球的体积V=$\frac{4}{3}{πR}^{3}$=36πcm³．
圆锥的体积V=$\frac{1}{3}{πr}^{2}h$=96πcm³．
故圆锥体剩余的空间体积为60πcm³．

点评 本题给出圆锥满足的条件，求它的高并求内切球的体积．着重考查了圆锥的定义、球的体积公式、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．