Question

3．已知f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当b=1时，判断f（x）的单调性；
（2）讨论f（x）的极值点的情况．

Answer 1

分析 （1）将b=1代入函数的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数的导数，通过讨论b的范围，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值点．

解答 解：（1）b=1时，f（x）=（x-1）²+lnx，（x＞0），
f′（x）=2（x-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+1}{x}$=$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）∵f（x）=（x-1）²+blnx，
∴f′（x）=2（x-1）+$\frac{b}{x}$=$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+b-\frac{1}{2}}{x}$，
①b-$\frac{1}{2}$≥0即b≥$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴函数f（x）无极值点；
②b＜$\frac{1}{2}$时，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{1-2b}}{2}$，
0＜b＜$\frac{1}{2}$时：
f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）递增，
在（$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$）递减，
∴x=$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$是极大值点，x=$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$是极小值点；
b≤0时：f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$）递减，在（$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）递增，
∴x=$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$是极小值点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．