题目内容
【题目】已知函数(其中e是自然对数的底数,a,
)在点
处的切线方程是
.
(1)求函数的单调区间.
(2)设函数,若
在
上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为,单调递增区间为
;(2)
.
【解析】
(1)求出.由题意求出
,
,即可求出
,
,代入
,即可求出
的单调区间;
(2)由(1)知.解法1:要使
在
上恒成立,只需
即可,利用导数求
;解法2:要使
在
上恒成立,等价于
在
上恒成立.令
,则只需
即可,利用导数求
;解法3:要使
在
上恒成立,等价于
在
上恒成立. 先证明
,可得当
时,有
,可得
,即求实数m的取值范围.
(1)对函数求导得
,
由条件可知,
,解得
,
,
所以.
.令
得
,
于是,当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增.
故函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)由(1)知.
解法1:要使在
上恒成立,只需
即可.
因为,
,
所以在
上单调递增.
因为当时,
,当
时,
,
所以,在
上存在唯一的零点
,满足
,
所以,
且在
上单调递减,在
上单调递增,
于是
由得
,此时必有
,
,
两边同时取自然对数,则有,即
.
构造函数(
),则
,
所以函数在
上单调递增,又
,所以
,即
.
故,于是实数m的取值范围是
.
解法2:要使在
上恒成立,等价于
在
上恒成立.
令(
),则只需
即可.
,令
(
),则
,
所以在
上单调递增,又
,
,
所以有唯一的零点
,且
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
因为,两边同时取自然对数,则有
,
即.
构造函数(
),则
,
所以函数在
上单调递增,又
,
所以,即
.
所以.
于是实数m的取值范围是
解法3:要使在
上恒成立,
等价于在
上恒成立.
先证明,令
(
),则
,于是,当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,所以
,故
(当且仅当
时取等号)
所以,当时,有
,所以
,即
,当且仅当
时取等号,于是实数m的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气,得到如下列联表:
夜晚天气 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出现 | 25 | 5 |
未出现 | 25 | 45 |
临界值表 | ||||
P( | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并计算得到,下列小波对地区A天气判断不正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”,有的把握认为夜晚会下雨
【题目】年以来精准扶贫政策的落实,使我国扶贫工作有了新进展,贫困发生率由
年底的
下降到
年底的
,创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例,
年至
年我国贫困发生率的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个,求两个都低于
的概率;
(2)设年份代码,利用线性回归方程,分析
年至
年贫困发生率
与年份代码
的相关情况,并预测
年贫困发生率.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(
的值保留到小数点后三位)