题目内容
【题目】已知正项数列
的前n项和为
，对于任意的
，都有
.
（1）求
，
；
（2）求数列的通项公式；
（3）令
问是否存在正数m，使得
对一切正整数n都成立?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）存在，
【解析】
（1）分别代入
和
，结合
解方程可求得结果；
（2）利用
得
，两式作差整理可得
，从而证得数列
为等差数列，由此可求得通项公式；
（3）由（2）可求得
，将问题转化为
恒成立，通过求解不等式右侧数列的单调性，可求得时取最小值，由此可得
的取值范围.
（1）当时，
，又，
；
当时，
，即
，解得：.
（2）由
得：
，
，
则
，
，
两式作差得：
，
，
数列是以
为首项，为公差的等差数列，
.
（3）由（2）知：
，
，
，
，
假设存在整数，使得
对一切正整数
都成立，
设
，
，
则
，
为递增数列，
，
由
恒成立知：
，
存在正实数，使得对一切正整数都成立.
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