Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＝an＋n－3成立．

(1)求证：存在实数λ使得数列{an＋λ}为等比数列；

(2)求数列{nan}的前n项和Tn.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项公式得项之间递推关系an＝3an－1－2，再构造an－1＝3(an－1－1)，由等比数列定义确定结论，（2）因为数列为等差与等比乘积型，所以利用错位相减法求数列{nan}的前n项和Tn.

试题解析：(1)证明：因为Sn＝an＋n－3，①

所以当n＝1时，S1＝a1＋1－3，所以a1＝4.

当n≥2时，Sn－1＝an－1＋n－1－3，②

由①②两式相减得an＝an－an－1＋1，即

an＝3an－1－2(n≥2)．变形得an－1＝3(an－1－1)，而a1－1＝3，

所以数列{an－1}是首项为3，公比为3的等比数列，

所以存在实数λ＝－1，使得数列{an－1}为等比数列．

(2)由(1)得an－1＝3·3n－1＝3n，

所以an＝3n＋1，nan＝n·3n＋n，所以Tn＝(1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋3＋…＋n)，

令Vn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③

则3Vn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④

由③④两式相减得

－2Vn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1＝·3n＋1－，

所以Vn＝·3n＋1＋，

Tn＝·3n＋1＋＋.