Question

某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），
⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到频率分布直方图如下．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；
（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	50	25	75
住宿生	10	15	25
总计	60	40	100

是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？
参考公式：
参考列表：

P（K2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），则由图可知：学习时间少于60钟的频率为：P₁+P₂=，由此能够求出n的值并补全频率分布直方图．
（2）求出K²，比较K²与3.841的大小，能够判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．
（3）由题设条X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，能够得到X的分布列和EX．
解答：解：（1）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），
则由图可知：P₁=×30=，P₂=×30=，
∴学习时间少于60钟的频率为：P₁+P₂=，
由题n×=5∴n=100，…（2分）
又P₃=×30=，P₅=×30=，
P₆=×30=，P₇=×30=，
P₈=×30=，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）
=1-=1-=，
第④组的高度h=×==．
频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）…（4分）
（2）K²=≈5.556
由于K²＞3.841，
所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（8分）
（3）由（1）知：第①组1人，
第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人．
则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=i）=，（i=0，1，2，3），
∴P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：

P		1	2	3
X

EX=0×+1×+2×+3×===．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．